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By Szymon Dolecki

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4 (topologie cofinie). Soit X un ensemble infini et Xqo £ X . Une partie O est ouverte pour la topologie cofinie autour de Xqo si x œ G O implique que O est cofinie. Toute suite libre converge vers Xqo- Effectivement, soit (wk)k une suite libre, c’est-à-dire l’ensemble {& G N : Wk = x} est fini pour tout x G X. Soit V G V(x)> donc X \ V finie et, par conséquent, { k G N : Wk G X \ V} est fini. 5 (topologie cofinie dénombrable). Si X est un ensemble dénombrable (infini), alors, par définition, on peut le ranger en une suite X = {xqo, #i> • • •}• D’après notre observation, toute suite libre (wk)k converge vers Xqo (pour la topologie cofinie autour de x ^ ).

Toute métrique admet une métrique équivalente bor­ née. II. ESPACES MÉTRIQUES 29 D é m o n s t r a t i o n . Si d est une métrique, alors la fonction 5 := min(d, 1) est une métrique (Pexercice 3). Puisque Bd(x,r) = Bs(x>r) si 0 < r < 1, les convergences des suites pour les deux métriques sont les mêmes. 7. Dans un espace métrique, s ix = limn_»oo%n et (x Uk)k est une suite extraite de (xn)n, alors x = lim ^oo x nic (top). D é m o n s t r a t i o n . Si x = limn-*ooÆn alors pour tout e > 0 il existe n£ tel que {xn : n > n£} C Be(x).

Une application h : W -> IlneN *^n est continue si et seulement si7rn oh est continue pour tout n G N. D é m o n s t r a t i o n . Si h est continue, alors 7rn o h est continue en tant qu’une composition d’applications continues. 1, il existe n pour lequel 7rn(h(w)) ^ lim ^oo 7rn(/i(wfc)), c’est-à-dire 7rn o h n’est pas continue. 3. L’espace X := [0,1]N, où [0,1] porte la métrique natu­ relle, s’appelle le cube de Hilbert. 4. Tout espace métrique fini est discret. l} est discret. Cependant, la convergence du produit dénom­ brable infini YlneN {0> 1} du même ensemble {0,1}, n’est pas discrète.