Winfried Hochstättler (auth.)'s Algorithmische Mathematik PDF

By Winfried Hochstättler (auth.)

ISBN-10: 3642054218

ISBN-13: 9783642054211

Mit diesem Buch wollen wir verschiedene Teilgebiete der Mathematik aus algorithmischer Perspektive vorstellen und dabei auch Implementierungs- und Laufzeitaspekte diskutieren. Gleichzeitig möchten wir, bei einer verkürzten Grundausbildung in Mathematik in naturwissenschaftlichen und informatischen Studiengängen, möglichst viele Teilaspekte der Mathematik vorstellen und vielleicht zu einer vertiefenden Beschäftigung mit dem einen oder anderen Aspekt anregen.

Unser Ziel ist es dabei nicht, den Leser zu einem versierten Anwender der besprochenen Algorithmen auszubilden, sondern wir wollen, immer ausgehend von konkreten Problemen, examine- und Lösungsstrategien in den Mittelpunkt stellen. Hierbei spielen insbesondere Beweise und Beweistechniken eine zentrale Rolle.

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2 n n = Der letzte Ausdruck verh¨alt sich f¨ur große n etwa wie n0 ∈ N mit: ∀n ≥ n0 : n2 2 1− n2 2, 1 2 log2 (n) − n n insbesondere gibt es f¨ur jedes ε > 0 ein ≥ (1 − ε ) n2 . 2 n2 Die Anzahl paarweise nicht isomorpher Graphen ist somit in unserer Terminologie Ω (2 2 (1−ε ) ) f¨ur jedes ε > 0. Damit haben wir f¨ur wachsendes n deutlich mehr Graphen mit n Knoten als Teilmengen einer n -elementigen Menge. In unseren Graphen gibt es zwischen zwei Knoten stets h¨ochstens eine Kante und jede Kante hat genau zwei Endknoten.

1 (Ungleichung arithmetisches-geometrisches Mittel). Seien a, b > 0 zwei reelle Zahlen. Dann ist √ a+b . 22) 24 Kapitel 2. Elementare Abz¨ahlprobleme und diskrete Wahrscheinlichkeiten √ √ √ Beweis. Aus 0 ≤ ( a − b)2 = a − 2 ab + b folgt sofort die Behauptung. )2 = n n ∏i ∏(n + 1 − i) i=1 i=1 n = ∏ i(n + 1 − i). 22) n n! = ∏ i(n + 1 − i) i=1 n i + (n + 1 − i) 2 i=1 ≤∏ n+1 2 = n , womit die obere Schranke bewiesen ist. F¨ur die untere gen¨ugt es zu beobachten, dass f¨ur i = 1, . . , n stets i(n + 1 − i) ≥ n .

Ist N ⊆ M , aber 0/ = N = M , so sind N und M \ N nicht miteinander vergleichbar. Also ist (P, ≤) keine Totalordnung, falls solch ein N existiert, also falls |M| ≥ 2. 8. 3 wurde gezeigt, dass die Teilbarkeitsrelation eine Partialordnung ist. Offensichtlich gibt es auch hier unvergleichbare Elemente, z. B. 2 und 5. Sei (P, ≤) eine Partialordnung und a, b ∈ P mit a ≤ b. Ist a = b , so schreiben wir a < b . Wir sagen b bedeckt a, in Zeichen a <· b, wenn a < b und f¨ur alle c ∈ P gilt a ≤ c ≤ b ⇒ c ∈ {a, b}.

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Algorithmische Mathematik by Winfried Hochstättler (auth.)


by Steven
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